В теории графов сумма графов представляет собой операцию комбинирования двух или более графов для создания нового графа. Эта операция имеет несколько разновидностей, каждая со своими специфическими свойствами и областями применения.
Содержание
В теории графов сумма графов представляет собой операцию комбинирования двух или более графов для создания нового графа. Эта операция имеет несколько разновидностей, каждая со своими специфическими свойствами и областями применения.
Основные виды суммы графов
1. Объединение графов (Disjoint union)
Самый простой вид суммы, при котором:
- Берутся два непересекающихся графа
- Их вершины и рёбра объединяются
- Не добавляется новых рёбер между исходными графами
2. Соединение графов (Graph join)
Более сложная операция, включающая:
- Объединение вершин исходных графов
- Сохранение всех исходных рёбер
- Добавление рёбер между каждой парой вершин из разных графов
Формальные определения
| Тип суммы | Математическое определение |
| Объединение G₁ + G₂ | V = V₁ ∪ V₂, E = E₁ ∪ E₂ (при V₁ ∩ V₂ = ∅) |
| Соединение G₁ ∨ G₂ | V = V₁ ∪ V₂, E = E₁ ∪ E₂ ∪ {(u,v) | u ∈ V₁, v ∈ V₂} |
Свойства суммы графов
Для объединения графов:
- Число вершин: |V| = |V₁| + |V₂|
- Число рёбер: |E| = |E₁| + |E₂|
- Компоненты связности увеличиваются
Для соединения графов:
- Всегда создаёт связный граф
- Число рёбер значительно возрастает
- Хроматическое число: χ(G₁ ∨ G₂) = χ(G₁) + χ(G₂)
Примеры применения
- Построение сложных сетевых структур из простых компонентов
- Моделирование социальных сетей с новыми связями между группами
- Создание комбинаторных конструкций в теории кодирования
- Анализ параллельных процессов в компьютерных системах
Конкретный пример
Соединение двух полных графов K₃ и K₂:
- Исходные графы имеют 3 и 2 вершины соответственно
- Результирующий граф будет иметь 5 вершин
- Количество рёбер: 3 + 1 + 3×2 = 10
- Получится полный двудольный граф K₃,₂ с дополнительными рёбрами внутри долей
Специальные случаи
| Тип графов | Результат суммы |
| Пустой граф + Пустой граф | Пустой граф с объединёнными вершинами |
| Полный граф + Полный граф | Новый полный граф при соединении |
| Дерево + Дерево | Лес (при объединении) или связный граф (при соединении) |
Важные замечания
- Операция суммы некоммутативна для помеченных графов
- Можно определить сумму для более чем двух графов
- Существуют другие варианты суммы (тензорная, декартова и др.)
Сумма графов является важной операцией в теории графов, позволяющей конструировать сложные структуры из простых компонентов и анализировать их свойства на основе характеристик исходных графов.
